I'm worried about you. と I worry about you. を日本語にすると両方とも「私はあなたのことを心配しています」となります。
どちらも正しい表現ですが使い方に違いがあります。以下で具体例を見ながら違いを確認しましょう。
I'm worried about you. と I worry about you.の違い
I'm worried about you.
worried は動詞の過去分詞ではなく「心配している」という形容詞です。
be worried about は『今』心配していることに対して使います。例えば友達がケガをしたことを知って「（ケガをしている）あなたのことが心配だ」というような時は、I'm worried about you. が適切です。
be動詞と形容詞の組み合わせで『今の』状態を表現することができます。例えば、I'm happy.は「私は（今）幸せな状態」、I'm sad.は「私は（今）悲しい状態」です。
同様に、I'm worried. であれば「私は（今）心配している状態」ということです。ですからbe worried about は心配になるような出来事が具体的にある時に使います。
I worry about you.
worryは動詞です。動詞の中でも「状況が続いていることを表現する」状態動詞と呼ばれるものです。
状態動詞の代表例として、live（住んでいる）、have（持っている）、love（愛している）などがあります。
worryも形容詞worriedと同様に「心配している状態」を表すのですが、worryの場合は一時的ではなく継続的に心配しているという意味です。
例えば母親が息子に対して「あなたのことは（いつも）気にかけているよ」という意味でI worry about you.などと使います。
ただし母親が息子の具体的な出来事、例えば「仕事が見つからない、病気になった」ということに対して心配の気持ちを表現したい場合は、I'm worried about you. が適切です。